Toán nâng cao lớp 7 có lời giải

     
DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU.Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99Nhận xét: Nếu học sinh nào tất cả sự sáng tạo sẽ thấy tức thì tổng: 2 + 3 + 4 + ... + 98 +99 có thể tính trọn vẹn tương trường đoản cú như bài bác 1, cặp số sống giữa vẫn chính là 51 và 50, (vì tổng trênchỉ thiếu hụt số 100) vậy ta viết tổng B như sau:B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng vào ngoặc tất cả 98 số hạng, nếuchia thành các cặp ta gồm 49 cặp buộc phải tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) =49.101 = 4949, khi ấy B = 1 + 4949 = 4950Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, giả dụ ta chia các số hạng kia thành cặp (mỗi cặp có2 số hạng thì được 49 cặp với dư một số ít hạng, cặp sản phẩm công nghệ 49 thì có 2 số hạng nào? Số hạng dưlà bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.Ta có thể tính tổng B theo cách khác ví như sau:Cách 2:B= 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99B= 99 + 98 + ... ++3+2+12B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 1002B = 100.99  B = 50.99 = 4950Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999Lời giải:Cách 1: từ là 1 đến 1000 tất cả 500 số chẵn cùng 500 số lẻ cần tổng trên bao gồm 500 số lẻ. Ápdụng những bài trên ta gồm C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 =250.000 (Tổng trên gồm 250 cặp số)Cách 2: Ta thấy:1 = 2.1 - 13 = 2.2 - 15 = 2.3 - 1...999= 2.500- 1Quan gần kề vế phải, vượt số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác địnhđược số những số hạng của dãy số C là 500 số hạng.Áp dụng cách 2 của bài xích trên ta có:C= 1 + 3 + ... + 997 + 999C= 999 + 997 + ... + 3 + 1+2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 10002C = 1000.500  C = 1000.250 = 250.000Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998Nhận xét: những số hạng của tổng D những là các số chẵn, vận dụng cách làm của bài bác tập 3để tìm số những số hạng của tổng D như sau:Ta thấy:10 = 2.4+ 212 = 2.5+ 214 = 2.6+ 2...998 = 2.498 + 2Tương tự bài bác trên: tự 4 mang lại 498 gồm 495 số bắt buộc ta tất cả số những số hạng của D là 495, mặtkhác ta lại thấy: 495 998  10 1 hay2số những số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi thêm vào đó 1Khi kia ta có:+D=10 + 12 + ... + 996 + 998D=998 + 996 + ... + 12 + 102D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 10082D = 1008.495  D = 504.495 = 249480Thực hóa học D (998  10)4952Qua các ví dụ bên trên , ta đúc rút một cách bao quát như sau: đến dãy số bí quyết đềuu1, u2, u3, ... Un (*), khoảng cách giữa hai số hạng tiếp tục của dãy là d,Khi đó số những số hạng của hàng (*) là: n Tổng những số hạng của hàng (*) làun  u1 1 (1)dSn n(u1  un )2(2)Đặc biệt từ công thức (1) ta rất có thể tính được số hạng đồ vật n của hàng (*) là:un = u1 + (n - 1)dHoặc lúc u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n n(n  1)2Bài 4. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10Lời giảiTa hoàn toàn có thể đưa các số hạng của tổng bên trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả haivế với 100, khi ấy ta có:100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899)+ 9910 (1011  9899).98 9910 = 485495 + 9910 = 495405 2E = 4954,05(Ghi chú: vày số các số hạng của hàng là(9899  1011) 1  98 )101Bài 5. So sánh số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên và thoải mái chẵn liên tiếp.Lời giảiGọi a là số tự nhiên chẵn, ta gồm tổng của 2004 số tự nhiên và thoải mái chẵn tiếp tục là:S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = a  (a  4006)  .2004  (a  2003).2004 . Khi2đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028  a = 2004.Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010Nhận xét:Sau khi xử lý các việc ở dạng bên trên ta không thấy bao gồm vướng mắc gì lớn, bởivì đó là toàn thể những việc cơ phiên bản mà đối với học sinh khá cũng không gặp gỡ mấy khókhăn lúc tiếp thu. Tuy vậy đó là những cơ sở đầu tiên để từ bỏ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứucác dạng toán tại mức độ cao hơn, tinh vi hơn một chút.DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)Lời giảiTa thấy mỗi số hạng của tổng bên trên là tích của nhì số tự nhên liên tiếp, khi đó:Gọi a1 = 1.2  3a1 = 1.2.3  3a1= 1.2.3 - 0.1.2a2 = 2.3  3a2 = 2.3.3  3a2= 2.3.4 - 1.2.3a3 = 3.4  3a3 = 3.3.4  3a3 = 3.4.5 - 2.3.4…………………..an-1 = (n - 1)n  3an-1 =3(n - 1)n  3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)nan = n(n + 1)  3an = 3n(n + 1)  3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)Cộng từng vế của những đẳng thức bên trên ta có:3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)3 1.2  2.3  ...  n(n  1)  = n(n + 1)(n + 2)  A =n(n  1)(n  2)3Cách 2: Ta có3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … +n(n + 1)<(n -2) - (n - 1)> = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)  A =n(n  1)(n  2)3* tổng thể hoá ta có:k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong những số ấy k = 1; 2; 3; …Ta dễ dàng minh chứng công thức bên trên như sau:k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)<(k + 2) - (k - 1)> = 3k(k + 1)Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)Lời giảiÁp dụng tính kế thừa của bài bác 1 ta có:4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5- 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) -<(n - 2)(n - 1)n(n + 1)> = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) B=(n  1)n(n  1)(n  2)4Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)Lời giảiTa thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)2.5 = 2.(2 + 3)3.6 = 3.(3 + 3)4.7 = 4.(4 + 3)…….n(n + 3) = n(n + 1) + 2nVậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n= 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n= <1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)> + (2 + 4 + 6 + … + 2n)3C = 3.<1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)> + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) == 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) == n(n + 1)(n + 2) +3(2n  2)nn(n  1)(n  2) 3(2n  2)n n(n  1)(n  5)= C=2323Bài 4.


Bạn đang xem: Toán nâng cao lớp 7 có lời giải


Xem thêm: Lý Thuyết Tìm Hai Số Khi Biết Hiệu Và Tỉ Số Của Hai Số Đó, Hiệu Hai Số Là 2,5



Xem thêm: Làm Thế Nào Để Tự Viết Hoa Sau Dấu Chấm Trong Word 2010 Đơn Giản

Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2Nhận xét: các số hạng của bài một là tích của nhì số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này làtích của nhị số thoải mái và tự nhiên giống nhau. Vì thế ta gửi về dạng bài tập 1:Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … ++ n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 )+ (1 + 2 + 3 + … + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có:A==n(n  1)(n  2)n(n  1)và 1 + 2 + 3 + … + n =32 12 + 22 + 32 + … + n2 =n(n  1)(n  2) n(n  1)n(n  1)(2n  1)=326Bài 5. Tính E = 13 + 23 + 33 + … + n3Lời giảiTương tự bài toán trên, khởi nguồn từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E:Ta có:B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1)+ … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) == (23 + 33 + … + n3) - (2 + 3 + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - (1 + 2 + 3 + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) (13 + 23 + 33 + … + n3) = B +n(n  1)2n(n  1)(n  1)n(n  1)(n  2)Mà ta đang biết B =24 E = 13 + 23 + 33 + … + n3 =(n  1)n(n  1)(n  2)n(n  1) n(n  1) += 42 2 2Cách 2: Ta có:A1 = 13 = 12A2 = 13 + 23 = 9 = (1 + 2)2A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3)2Giả sử có: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + 2 + 3 + … + k)2(1) Ta triệu chứng minh:Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = <1 + 2 + 3 + … + (k + 1)>2Thật vậy, ta sẽ biết: 1 + 2 + 3 + … + k =(2)k (k  1)2k (k  1) 2>2(1") cộng vào nhì vế của (1") cùng với (k + 1)3 ta có:Ak + (k + 1)3 = + (k + 1)3  Ak+1 = <> + (k + 1)322Ak = < (k  1)(k  2) = 22Vậy tổng bên trên đúng với Ak+1, tức là ta luôn luôn có:Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = <1 + 2 + 3 + … + (k + 1)>2 =2 (k  1)(k  2) =  . Vậy lúc đó ta có:2 n(n  1) E = 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2 =  2 2Lời bình: - Với bài tập bên trên ta áp dụng kiến thức và kỹ năng về quy nạp Toán học.- bài tập trên chính là dạng bài tập về tổng những số hạng của một cung cấp sốnhân (lớp 11) nhưng bạn cũng có thể giải quyết được trong phạm vi ở cấp THCS.Bài 6. (Trang 23 SGK Toán 7 tập 1)Biết rằng 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính cấp tốc được tổngS = 22 + 42 + 62 + … + 202Lời giảiTa có: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 == 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = 4. (12 + 22 + 32+ … + 102) = 4.385 = 1540.Nhận xét: ví như đặt p. = 12 + 22 + 32 + … + 102 thì ta có: S = 4.P. Vì chưng đó, nếu mang lại S thìta và tính được p và ngược lại. Tổng thể hóa ta có:P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 =n(n  1)(2n  1)(theo công dụng ở trên)6Khi kia S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 được tính tựa như như bài trên, ta có:S = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) ==4n(n  1)(2n  1)2n(n  1)(2n  1)=632 n(n  1) Còn: p = 1 + 2 + 3 + … + n = . Ta tính S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 2 3333như sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lúc này S =23338P, Vậy ta có: S = 2 + 4 + 6 +…+ (2n)322 n(n  1)  8.n (n  1)= 8  2n 2 (n  1) 24 2 Áp dụng các hiệu quả trên, ta có bài tập sau:Bài 7. A) Tính A = 12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2b) Tính B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3Lời giảia) Theo công dụng bài trên, ta có: 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 ==2n(2n  1)(4n  1) n(2n  1)(4n  1)63Mà ta thấy:12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)2 ==n(2n  1)(4n  1)2n(n  1)(2n  1)2n 2 (2n  1)=333b) Ta có: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 . Áp dụng công dụng bài tập trên ta có:13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2.Vậy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 == 2n4 - n2MỘT SỐ BÀI TẬP DẠNG KHÁCBài 1. Tính S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263Lời giảiCách 1:Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263(1) 2S1 = 2 + 2 + 2 + … + 2 + 2236364(2)Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:2S1 - S1 = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + 2 + 22 + 23 + … + 263)= 264 - 1. Giỏi S1 = 264 - 1Cách 2:Ta có: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + … + 262)(1)= 1 + 2(S1 - 263) = 1 + 2S1 - 264  S1 = 264 - 1Bài 2. Tính cực hiếm của biểu thức S = 1 +3 + 32 + 33 + … + 32000(1)Lời giải:Cách 1: Áp dụng phương pháp làm của bài 1:Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 + … + 32001(2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000)2S = 32001 - 1  S =Hay:32001  12Cách 2: tương tự như phương pháp 2 của bài xích trên:Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001 2S = 32001 - 1  S =32001  12*) tổng thể hoá ta có:Sn = 1 + q + quận 2 + q.3 + … + qn(1)Khi đó ta có:Cách 1:qSn = q + q.2 + q.3 + … + qn+1n+1Trừ từng vế của (2) mang lại (1) ta có: (q - 1)S = qCách 2:(2)q n 1  đối chọi  S=q 1Sn = 1 + q(1 + q + q.2 + quận 3 + … + qn-1) = 1 + q(Sn - qn)= 1 + qSn - qn+1  qSn - Sn = qn+1 - 1 hay: Sn(q - 1) = qn+1 - 1q n 1  1 S=q 1Bài 3. Mang đến A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28. Hãy so sánh A cùng BCách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).26= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25(Vì 26 = 2.25). Vậy rõ ràng ta thấy B > ACách 2: Áp dụng cách làm của những bài tập bên trên ta thấy đơn giản hơn,thật vậy:A = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 29239102A = 2 + 2 + 2 + … + 2 + 2(1)(2)Trừ từng vế của (2) mang đến (1) ta có:2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 + … + 29)= 210 - 1 hay A = 210 - 1Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28Vậy B > A* Ta hoàn toàn có thể tìm giá tốt trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A vớiB mà không chạm mặt mấy nặng nề khăn.Bài 4. Tính quý giá của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699(1)6S = 6 + 2.62 + 3.63 + … + 99.699Ta có:+ 100.6100 (2)Trừ từng vế của (2) mang lại (1) ta được:5S = 6 - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 - 100.699) ++ 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 + … + 699)(*)Đặt S" = 6 + 62 + 63 + … + 699  6S" = 62 + 63 + … + 699 + 6100  S" =6100  66100  6499.6100  1thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - 1 =555 S=499.6100  125Bài 5. Bạn ta viết hàng số: 1; 2; 3; ... Hỏi chữ số sản phẩm công nghệ 673 là chữ số nào?Lời giảiTa thấy: từ một đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số những chữsố của dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, bởi vậy chữ số lắp thêm 673 đề xuất nằm trong dãy các sốcó 3 chữ số. Vậy ta xét tiếp:Từ 100 mang lại 260 có: 3.161 = 483 chữ sốNhư vậy từ là một đến 260 sẽ có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu bài bác thì chữ số đồ vật 673sẽ là chữ số 2 của số 261.Một số bài tập từ giải:1. Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1)2. Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3)3. Tính: C = 22 + 52 + 82 + ...+ (3n - 1)24. Tính: D = 14 + 24 + 34 + ... + n45. Tính: E = 7 + 74 + 77 + 710 + … + 730016. Tính: F = 8 + 83 + 85 + … + 88017. Tính: G = 9 + 99 + 999 + … + 99 … 9 (chữ số cuối bao gồm 190 chữ số 9)8. Tính: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n!9. đến dãy số: 1; 2; 3; … . Hỏi chữ số lắp thêm 2007 là chữ số nào?*****************************************************Trên đây chỉ với phần trích dẫn 10 trang nhất của tài liệu và bao gồm thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu cội thì ấn vào nút cài về phía dưới.