Tìm M Để Hàm Số Liên Tục Tại 1 Điểm

Chúng ta thấy, ( limlimits_x o 0^+f(x)=limlimits_x o 0^-f(x) ) nhưng mà lại không giống (f(0)) đề nghị suy ra hàm số không tiếp tục tại điểm ( x = 0 ).

Dạng 2. Xét tính liên tục, chứng tỏ hàm số thường xuyên trên một khoảng chừng đoạn hoặc tập xác định

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số trên (R).

Hướng dẫn. rõ ràng khi (x e0) thì hàm số đã cho rằng hàm phân thức và trọn vẹn xác định cần nó liên tục trên từng khoảng ( (-infty;0) ) và ( (0;+infty) ).

Chú ý ko được nói hàm số đã cho liên tiếp trên (( – infty ;0) cup (0; + infty )).

Do đó, họ chỉ nên xét tính liên tục của hàm số tại (x=0). Bọn họ có:

Ta thấy (mathop lim limits_x o 0 f(x) = f(0)) yêu cầu hàm số đang cho tiếp tục tại (x=0). Bắt lại, hàm số đang cho liên tục trên tổng thể tập (R).

Ví dụ 2. Xét tính thường xuyên của hàm số trên tập xác định.

Hướng dẫn. Chúng ta tất cả ngay tập xác minh của hàm số là (R).

Xem thêm: Khái Niệm Từ Nhiều Nghĩa Là Gì? Tìm Hiểu Về Từ Nhiều Nghĩa Đầy Đủ Nhất

Tập xác minh của hàm số là tập nhưng mà tại đông đảo điểm (x) của tập đó, hàm số có thể tính được giá trị (f(x)) tương ứng.

Do đó, họ chỉ xét tính tiếp tục của hàm số trên điểm ( x=0 ) nữa là rất có thể kết luận. Trên ( x=0 ) thì <eginarraylmathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ + sqrt x = 0\f(0) = 0\mathop lim limits_x o 0^ – f(x) = mathop lim limits_x o 0^ – left( 2x – 1 ight) = – 1endarray> cụ thể (mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = f(0) e mathop lim limits_x o 0^ – f(x)) đề nghị hàm số cách quãng tại ( x=0 ).

Tóm lại, hàm số đã đến không tiếp tục trên tập xác định.

Dạng 3. Tìm đk để hàm số liên tục tại một điểm

Ví dụ 1. Tìm ( m ) để hàm số $$f(x) = left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2& & extnếu x e 1\ – 3mx – 1& & extnếu x = 1 endarray ight.$$ tiếp tục tại điểm ( x = 1 ).

Hướng dẫn.

Vậy giá trị m yêu cầu tìm của ( m ) là ( -3 ).

Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số thường xuyên trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định.

Ví dụ. search ( m ) để hàm số sau thường xuyên trên tập xác minh của nó:$$ f(x),, = ,,left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x – 1& & extnếu,,x e 1,,,,,,\ – 3mx – 1& & extnếu,,x = 1 endarray ight. $$ Hướng dẫn. Tập xác định: ( D = mathbbR ).

Tóm lại, giá bán trị bắt buộc tìm là ( m = – frac43 ).

Dạng 5. Ứng dụng hàm số liên tục chứng tỏ phương trình bao gồm nghiệm

Ví dụ 1. chứng tỏ phương trình ( 3x^3 + 2x – 2 = 0 ) tất cả nghiệm trong khoảng ( left( 0;1 ight) ).

Hướng dẫn.

Suy ra tồn tại không nhiều nhất một số trong những ( c ) trong vòng ( (0;1) ) làm sao cho ( f(c) = 0 ), tức thị phương trình ( f(x)=0 ) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( left( 0;1 ight) ).

Ví dụ 2. Chứng minh phương trình ( 2x^3 – 6x^2 + 5 = 0 ) có ba nghiệm trong vòng ( left( – 1;3 ight) ).

Hướng dẫn.

Kết luận, phương trìn có ba nghiệm trong tầm ( left( – 1;3 ight) ).

Ví dụ 3. minh chứng rằng phương trình ( ax^2 + bx + c = 0 ) luôn luôn có nghiệm trong đoạn ( left< 0;frac13 ight> ) với mọi ( a e 0 ) và ( 2a + 6b + 19c = 0 ).

Hướng dẫn. Hàm số ( f(x) = ax^2 + bx + c ) tiếp tục trên ( mathbbR ) buộc phải cũng liên tiếp trên đoạn ( left< 0;frac13 ight> ).

Ta có $$ f(0) = c, f(frac13) = frac19(a + 3b + 9c) $$ Suy ra $f(0) + 18f(frac13) = 2a + 6b + 19c = 0 $ đề nghị $$ f(0) =-18f(frac13) $$ Như vậy, họ thấy

Tóm lại, phương trình sẽ cho luôn có nghiệm trong đoạn ( left< 0;frac13 ight> ) với mọi ( a e 0 ) cùng ( 2a + 6b + 19c = 0 ).

3. Bài xích tập hàm số liên tục

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số trên điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=left{ eginalign& fracx+3x-1& ext lúc ,,x e 1 \& -1& ext lúc ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=-1$b) $f(x),,=,,left{ eginalign& fracsqrtx+3-2x-1,,,& ext khi ,x e 1,,,,,, \& frac14& ext khi ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=1$c) $f(x) = left{ eginarray*20cdfrac2 – 7x + 5x^2 – x^3x^2 – 3x + 2& mkhi mkern 1mu x e 2mkern 1mu \1& extkhi x = 2endarray ight. $tại $x=2$d) $f(x),=,left{ eginalign& fracx-5sqrt2x-1-3,,& ext khi ,,x>5 \& (x-5)^2+3,,,,,& ext lúc ,xle ,,5 \endalign ight.$tại $x=5$e) $f(x),,=,,left{ eginalign& 1-cos x& ext khi ,xle 0 \& sqrtx+1& ext khi ,,x>0 \endalign ight.$tại $x=0$f) $f(x)=left{ eginalign& fracx-1sqrt2-x-1& ext khi ,,x& -2x& ext lúc ,,xge 1 \endalign ight.$tại $x=1$

Bài 2. Tìm $m, n$ để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=left{ eginalign& x^2& ext khi ,,x& 2mx-3& ext lúc ,,xge 1 \endalign ight.$tại $x=1$b) $f(x)=left{ eginalign& fracx^3-x^2+2x-2x-1& ext lúc ,,x e 1 \& 3x+m& ext khi ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=1$c) $f(x)=left{ eginalign& m& ext lúc ,,x=0 \& fracx^2-x-6x(x-3)& ext khi ,,x e 0,x e 3 \& n& ext lúc ,,x=3 \endalign ight.$tại $x=0$ cùng $x=3$d) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-x-2x-2& ext lúc ,,x e 2 \& m& ext khi ,,x=2 \endalign ight.$tại $x=2$

Bài 3. Xét tính tiếp tục của những hàm số sau bên trên tập xác minh của chúng:

a) $f(x),,=,,left{ eginalign& fracx^3+x+2x^3+1& ext lúc ,,x e -1 \& frac43& ext lúc ,,x=-1 \endalign ight.$b) $f(x)=left{ eginalign& x^2-3x+4& ext khi ,,x& 5& ext lúc ,,x=2 \& 2x+1& ext lúc ,,x>2 \endalign ight.$c) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-4x+2& ext lúc ,,x e -2 \& -4& ext khi ,,x=-2 \endalign ight.$d) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-2x-sqrt2& ext khi ,,x e sqrt2 \& 2sqrt2& ext lúc ,,x=sqrt2 \endalign ight.$

Bài 4. Tìm những giá trị của tham số (m) để các hàm số sau thường xuyên trên tập xác minh của chúng:

a) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-x-2x-2& ext khi ,,x e 2 \& m& ext lúc ,,x=2 \endalign ight.$b) $f(x)=left{ eginalign&x^2+x& ext lúc ,,x&2& ext lúc ,,x=1 \&mx+1& ext lúc ,,x>1 \endalign ight.$c) $f(x)=left{ eginalign&fracx^3-x^2+2x-2x-1& ext khi ,,x e 1 \&3x+m & ext khi ,,x=1 \endalign ight.$d) $f(x)=left{ eginalign&x^2& ext khi ,,x&2mx-3& ext khi ,,xge 1 \endalign ight.$

Bài 5. Chứng minh rằng những phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) $x^3-3x+1=0$b) $x^3+6x^2+9x+1=0$c) $2x+6sqrt<3>1-x=3$

Bài 6. Chứng minh rằng những phương trình sau luôn luôn có nghiệm:

a) $x^5-3x+3=0$b) $x^5+x-1=0$c) $x^4+x^3-3x^2+x+1=0$

Bài 7. chứng minh rằng phương trình: $x^5-5x^3+4x-1=0$ có 5 nghiệm trên khoảng ( (-2; 2) ).

Bài 8.

Xem thêm: Suy Nghĩ Về Câu Tục Ngữ: “ Một Con Sâu Làm Rầu Nồi Canh ”, Con Sâu Làm Rầu Nồi Canh

chứng tỏ rằng những phương trình sau luôn luôn có nghiệm với đa số giá trị của tham số:

a) $m(x-1)^3(x-2)+2x-3=0$b) $x^4+mx^2-2mx-2=0$c) $a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0$d) $(1-m^2)(x+1)^3+x^2-x-3=0$e) $cos x+mcos 2x=0$f) $m(2cos x-sqrt2)=2sin 5x+1$

Bài 9. Chứng minh những phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $ax^2+bx+c=0$ với $2a + 3b + 6c = 0$b) $ax^2+bx+c=0$ cùng với ( a + 2b + 5c = 0 )c) $x^3+ax^2+bx+c=0$

Bài 10. Chứng minh rằng phương trình: $ax^2+bx+c=0$ luôn luôn có nghiệm ( x ) ở trong $left< 0;frac13 ight>$ cùng với ( a e 0 ) cùng ( 2a + 6b + 19c = 0 ).