Phương trình lượng giác không mẫu mực

     

Một số bài toán về phương trình lượng giác mà giải pháp giải tuỳ theođặc thù của phương trình, chứ không nằm tại vị trí trong phương thức đã nêu ởhầu hết các sách giáo khoa.




Bạn đang xem: Phương trình lượng giác không mẫu mực

*

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI một trong những bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theođặc thù của phương trình, chứ không nằm tại vị trí trong phương pháp đã nêu ởhầu hết các sách giáo khoa. Một số phương trình lượng giác biểu lộ tính không mẫu mã mực ởngay dạng của chúng, nhưng cũng có thể có những phương trình ta thấy dạng rấtbình thường nhưng biện pháp giải lại không mẫu mã mực. Sau đây là những phương trình lượng giác tất cả cách giải không mẫumực thường xuyên gặp. I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG cách thức này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạngmột vế là tổng bình phương những số hạng (hay tổng những số hạng không âm)và vế còn sót lại bằng không và vận dụng tính chất: A = 0 A2 + B 2 = 0 ⇔  B = 0 bài bác 1. Giải phương trình: 3 rã 2 x + 4 sin 2 x − 2 3 chảy x − 4 sin x + 2 = 0 GIẢI 3 tan x + 4 sin x − 2 3 chảy x − 4 sin x + 2 = 0 2 2 ⇔ 3 tan 2 x − 2 3 chảy x + 1 + 4 sin 2 x − 4 sin x + 1 = 0 ⇔ ( 3 rã x − 1) 2 + ( 2 sin x − 1) 2 = 0  3 tan x − 1 = 0 ⇔ 2 sin x − 1 = 0  3 tan x =  3 ⇔ sin x = 1   2 π   x = 6 + mπ  ( m, n ∈ Z ) ⇔ π  x = + 2nπ   6 1 π + 2kπ (k ∈ Z ) ĐS x = 6 II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP cách thức này được phát hành trên tính chất: Để giải phương trìnhf ( x) = g ( x) , ta có thể nghĩ mang lại việc chứng minh tồn tại A → R:f ( x) ≥ A, ∀x ∈ (a, b) cùng g ( x) ≤ A, ∀x ∈ (a, b) thì lúc đó:  f ( x) = A f ( x ) = g ( x) ⇔   g ( x) = A trường hợp ta chỉ bao gồm f ( x) > A cùng g ( x) 0, ∀x ∈ < − 1,1> ⇒ − cos 5 x 0 với − cos 5 x π Vậy nghiệm của phương trình là: x = k (k ∈ Z ) 2 π ĐS x = k (k ∈ Z ) 2 Áp dụng phương pháp đối lập, ta hoàn toàn có thể suy ra biện pháp giải nhanh chóngnhững phương trình lượng giác ở những dạng quan trọng đặc biệt dưới đây: sin ax = 1  sin bx = 1 • sin ax. Sin bx = 1 ⇔  sin ax = −1  sin bx = −1  sin ax = 1  sin bx = −1 • sin ax. Sin bx = −1 ⇔  sin ax = −1  sin bx = 1  bí quyết giải tựa như cho các phương trình trực thuộc dạng: cos ax. Cos bx = 1 cos ax. Cos bx = −1 sin ax. Cos bx = 1 sin ax. Cos bx = −1 III.

Xem thêm: Thứ 7 Ngân Hàng Bidv Có Làm Việc Không ? Giờ & Lịch Làm Việc Ngân Hàng Bidv



Xem thêm: Giờ Ở Nơi Đây Còn Lại Gì Cho Chúng Ta, Đã Biết Sẽ Có Ngày Hôm Qua

PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNGMINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo phương thức và đk của phương trình, ta tính nhẩm mộtnghiệm của phương trình, sau đó chứng minh nghiệm này là độc nhất vô nhị bằngmột giữa những cách thông sụng sau: • Dùng đặc điểm đại số • Áp dụng tính đối kháng điệu của hàm số Phương trình f ( x) = 0 có một nghiệm x = α ∈ (a, b) cùng hàm f đối kháng điệutrong (a, b) thì f ( x) = 0 tất cả nghiệm nhất là x = α . Phương trình f ( x) = g ( x) có một nghiệm x = α ∈ (a, b) , f ( x) tăng (giảm)trong (a, b) , g ( x) sút (tăng) trong (a, b) thì phương trình f ( x) = g ( x) cónghiệm x = α là duy nhất. Bài xích 4. Giải phương trình: x2 với x > 0 cos x = 1 − 2 3 GIẢI Ta thấy tức thì phương trình có một nghiệm x = 0 . X2 Đặt f ( x) = cos x + − một là biểu thức của hàm số có đạo hàm 2f " ( x) = − sin x + x > 0, ∀x > 0 (vì x > sin x , ∀x ) ⇒ Hàm f luôn luôn đơn điệu tăng vào ( 0,+ ∞) ⇒ f ( x) = 0 có 1 nghiệm tuyệt nhất trong ( 0,+ ∞) Vậy phương trình vẫn cho có một nghiệm nhất x = 0 . B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN bài xích 1: Giải phương trình: x 2 − 2 x cos x − 2 sin x + 2 = 0 (1) GIẢI Ta gồm (1) ⇔ x − 2 x cos x + cos x + sin 2 x − 2 sin x + 1 = 0 2 2 ⇔ ( x − cos x) 2 + (sin x − 1) 2 = 0  x − cos x = 0 ⇔ sin x − 1 = 0 cos x = x ⇔ sin x = 1 Phương trình vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình: sin 4 x + cos15 x = 1 GIẢI Ta có: sin x + cos x = 1 4 15 ⇔ sin 4 x + cos15 x = sin 2 x + cos 2 x ⇔ sin 2 x(sin 2 x − 1) = cos 2 x(1 − cos13 x) (1) do sin 2 x(sin 2 x − 1) ≤ 0, ∀x với cos 2 x(1 − cos13 x) ≥ 0, ∀x 2 sin x (sin x − 1) = 0 2 vì vậy (1) ⇔  2 cos x(1 − cos13 x) = 0  4 sin x = 0  sin x = ±1 ⇔ cos x = 0 cos x = 1    x = mπ   x = π + mπ  2 ⇔ ( m, n ∈ Z )  x = π + nπ  2  x = 2nπ  π + kπ tốt x = 2kπ , (k ∈ Z ) ĐS x = 2C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THIBài 3: Giải những phương trình: π 1 sin 4 x + cos 4 ( x + ) = (1) 1. 4 4 1 (tan x + cot x ) n = cos n x + sin n x(n = 2,3,4,...) 2. 4 GIẢI1. Ta có: 2 π  1 + cos(2 x + 2 )(1) (1 − cos 2 x) 2  =1 + ⇔ 4 4 4 ⇔ (1 − cos 2 x) + (1 − sin 2 x ) = 1 2 2 ⇔ cos 2 x + sin 2 x = 1 π 2 ⇔ cos(2 x − )= 4 2  x = kπ ⇔ (k ∈ Z )  x = π + kπ  4 π2.Với đk x ≠ k ta gồm tan x cùng cot x luôn cùng vệt nên: 2 n 1 1 1 1 rã x + cot x = rã x + cot x ≥ 2 chảy x ⋅ cot x = 1 ⇒ rã x + cot x ≥ 1 4 4 4 4 5 1 1 1Dấu "=" xẩy ra ⇔ chảy x = cot x ⇔ chảy 2 x = ⇔ tan x = ± 4 4 2 2   1 • cùng với n = 2 : phương trình  tan x + cot x  = 1 gồm nghiệm mang lại   4 bởi: 1 1 ⇔ x = ± arctan + kπ (k ∈ Z ) chảy x = ± 2 2 • với n ∈ Z , n > 2 thì:cos x + sin n x ≤ cos 2 x + sin 2 x = 1 n π   x = k 2 khi n = 2mDấu bằng xảy ra ⇔  (k , m ∈ Z )  x = 2kπ tốt x = π + 2kπ lúc n = 2m + 1   2 π(đều ko thoả mãn đk x ≠ k của phương trình) 2Vậy cùng với n > 2, n ∈ Z thì phương trình vô nghiệm. 1 ĐS x = ± arctan + kπ (k ∈ Z ) 2Bài 4: Giải phương trình: 1 1 − 1 + cos 3 x − 1 = 1 (1)cos x cos x cos 3x GIẢI cos x > 0Điều kiện:  cos 3 x > 0Khi đó (1) ⇔ cos x − cos 2 x + cos 3x − cos 2 3x = 1 1 1 1Vì a 2 − a + = (a − ) 2 ≥ 0 ⇒ a − a 2 ≤ 4 2 4 1 1Do kia cos x − cos 2 x ≤và cos 3x − cos 2 3x ≤ 4 4 1 1⇒ cos x − cos 2 x ≤ cùng cos 3 x − cos 2 3 x ≤ 2 2   1 1 cos x − cos x = 4 cos x = 2 2  Dấu bằng xẩy ra ⇔  ⇔ ⇔ x∈∅ cos 3 x − cos 2 3 x = 1 cos 3 x = 1     4 2Vậy phương trình (1) vô nghiệm. 6 D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ bài bác 1: Giải phương trình: sin 3 x + cos 3 x = 2 − sin 4 x HƯỚNG DẪN sin x ≤ sin x , ∀x 3 2 cos 3 x ≤ cos 2 x , ∀x ⇒ sin 3 x + cos 3 x ≤ 1 , ∀x 2 − sin 4 x ≥ 1 , ∀x sin 3 x + cos 3 x = 1  Vậy phương trình tương đương:  2 − sin 4 x = 1  π ĐS x = + 2kπ (k ∈ Z ) 2 bài xích 2: Giải phương trình: π sin x + tan x − 2 x = 0 cùng với 0 ≤ x ≤ 2 HƯỚNG DẪN hay thấy phương trình có một nghiệm x = 0  π Đặt f ( x) = sin x + chảy x − 2 x thường xuyên trên 0;   2  π (cos x − 1)(cos x − cos x − 1) 2 gồm đạo hàm: f " ( x) = ≥ 0 , ∀x ∈ 0;  bởi 2  2 cos x1− 5 1+ 5 x 2 − 2 sin xy + 1 = 0 x = 1  x = −1   (k ∈ Z )ĐS  π π tốt   y = 2 + 2kπ  y = 2 + 2kπ   89