Cực Trị Hàm Nhiều Biến Có Điều Kiện

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1.Ví dụ mở đầu:

Ví dụ 1: từ 1 đoạn thẳng gồm độ nhiều năm là a. Hãy tạo thành thành 1 tam giác có diện tích lớn nhất

Ký hiệu tía cạnh tam giác là x, y, z và phường là nửa chu vi tam giác.

Bạn đang xem: Cực trị hàm nhiều biến có điều kiện

Ta yêu cầu tìm tam giác có diện tích lớn nhất. Bài bác toán đem về t2im cực đại của hàm số:

*
Thông thường, phương trình f(x,y) = 0 là phương trình của mặt đường cong (C). Như vậy, ta chỉ so sánh
*
cùng với
*
khi M nằm ở (C).

Tương tự, ta cũng có định nghĩa cực lớn có điều kiện.

Cực tè có đk và cực to có đk được gọi chung là rất trị gồm điều kiện.

4. Các phương pháp tìm cực trị gồm điều kiện:

4.1 bí quyết 1: Đưa về việc tìm rất trị của hàm 1 biến

Nếu từ điều kiện (2) ta giải tìm được y = y(x) thì khi nuốm vào hàm số

*
ta có z là hàm theo 1 biến hóa số x:
*
. Như vậy, bài toán trở về việc tìm cực trị của hàm tiên phong hàng đầu biến. —–> thừa quen thuộc!!!

Ví dụ: Tìm rất trị của hàm

*
với đk
*

Từ đk trên ta rút ra:

*
. Vì vậy y khẳng định với số đông x.

Thay vào hàm số ta có:

*

Đây là hàm hàng đầu biến, hàm số này xác định khi

*

Ta có:

*

Như vậy, hàm số không tồn tại cực trị có điều kiện vì

*
không thuộc miền khẳng định của hàm số.

4.2 bí quyết 2: phương pháp Larrange:

Nếu trường đoản cú pt (2) ta ko giải search y theo x được. Lúc đó, trả sử (2) khẳng định 1 hàm ẩn theo vươn lên là x:

*
. Để sống thọ hàm số ẩn, ta đưa thiết
*
(*)

Như vậy: hàm số

*
, với y là hàm theo x đó là hình ảnh hàm số phù hợp của thay đổi số x trải qua biến trung gian y.

Xem thêm: Hệ Thống Thuyết Phục Đường Thẳng Full, Hệ Thống Thuyết Phục Đường Thẳng

Với hầu hết giá trị của x tạo nên z hoàn toàn có thể có rất trị thì đạo hàm của z theo x đề xuất triệt tiêu.

Vậy mang đạo hàm của (1) theo biến chuyển x với luật lệ hàm vừa lòng (nhớ rằng y là hàm theo x) ta có:

*

Do đó, tại mọi điểm cực trị ta yêu cầu có:

*
(3)

Từ điều kiện (2), ta lấy đạo hàm 2 vế theo x. Ta có:

*
(4)

Đẳng thức (4) này được thỏa mãn với đa số x, y vừa lòng phương trình (2).

Như vậy, tại gần như điểm cực trị thỏa mãn nhu cầu điều kiện (2) thì sẽ thỏa mãn nhu cầu (3) với (4)

Nhân những số hạng của (4) với hệ số chưa xác định

*
cùng cộng bọn chúng với những số hạng khớp ứng của (3), ta được:

*

Hay:

*
(5)

Do đó, phương trình (5) cũng nghiệm đúng tại rất nhiều điểm rất trị thỏa đk (2). Từ bỏ (5), ta chọn hằng số

*
làm sao để cho tại phần nhiều điểm cực trị, hệ số của
*
đã triệt tiêu.

Nghĩa là:

*
(6)

Vì vậy, tự phương trình (5) cùng (6) ta có: đều điểm rất trị có điều kiện sẽ là nghiệm của hệ phương trình:

*

Bây giờ, ta xét hàm số Larrange:

*

Khi đó các điểm cực trị địa phương của hàm Larrange sẽ thỏa mãn hệ:

*

Từ (I) với (II) ta thừa nhận thấy: phần lớn điểm dừng của hàm Larrange rất có thể là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện (2).

Như vậy, câu hỏi cực trị có đk trở về việc cực trị địa phương của hàm Larrange. Ở trên đây

*
chỉ đóng vai trò phụ với sau khi kiếm được giá trị
*
thì không bắt buộc đến.

Xem thêm: Con Rươi Sống Ở Môi Trường Nào ? Rươi Sống Được Ở Môi Trường Nào

Điều khiếu nại của rất trị có đk liên quan đến việc điều tra dấu của vi phân cấp cho 2 của hàm Larrange trên điểm

*

*

trong đó: dx, dy không phải là hầu như giá trị bất kỳ mà yêu cầu thỏa điều kiện:

*
trong đó:
*

Nếu

*
0 " class="latex" /> với tất cả giá trị rất có thể có của dx, dy thì hàm z = f(x,y) đạt cực tiểu tất cả điều kiện.