Cho N Là Số Tự Nhiên

     
*



Bạn đang xem: Cho n là số tự nhiên

*

Ngữ văn 12
*
Sinh học tập 12 Toán học 12 giờ đồng hồ Anh 12
đồ lí 12
*
chất hóa học 12
*
lịch sử dân tộc 12
*
Địa lí 12


Xem thêm: X-1/2=Y-2/3=Z-3/4 Và X-2Y+3Z=14, Tìm X Y Z Biết X

*
GDCD 12
*
technology 12
*
Tin học 12
Ngữ văn 11 Toán học tập 11 giờ Anh 11 thứ lí 11

Câu hỏi đến (n) là số tự nhiên vừa lòng (3C_n^0 + 4C_n^1 + 5C_n^2 + ... + (n + 3)C_n^n = 3840).Tổng toàn bộ các hệ số của những số hạng trong khai triển ((1 + x - x^2 + x^3)^n) là

A (4^10)B (4^9)C (2^10)D (2^9)


Xem thêm: What Is Energy? A Guide To Understanding Energy To Live And Work

Phương pháp giải:

Nhận xét công thức tổng quát ((k + 3)C_n^k = kC_n^k + 3C_n^k)

Ta tách thành 2 tổng (S_1 = sumlimits_k = 1^n kC_n^k ) cùng (S_2 = 3sumlimits_k = 0^n C_n^k )


Lời giải chi tiết:

(eginarrayl;;;;3C_n^0 + 4C_n^1 + 5C_n^2 + ... + (n + 3)C_n^n = 3840\ Leftrightarrow left( 0 + 3 ight)C_n^0 + left( 1 + 3 ight)C_n^1 + left( 2 + 3 ight)C_n^2 + ... + left( n + 3 ight)C_n^n = 3840\ Leftrightarrow left( C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n ight) + 3left( C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n ight) = 3840endarray)

Đặt (left{ eginarraylS_1 = C_n^0 + C_n^1 + .... + C_n^n = left( 1 + 1 ight)^n = 2^n.\S_2 = C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^nendarray ight.)

Ta có: công thức tổng thể :

(eginarraylkC_n^k = k.fracn!k!(n - k)! = fracn!(k - 1)! m<(n - 1) - (k - 1) m>!\ = nfrac(n - 1)!(k - 1)! m<(n - 1) - (k - 1) m>! = nC_n - 1^k - 1;forall k ge 1endarray)

Với (k = 1,2,...n) ta được:

(eginarrayl Rightarrow S_2 = sumlimits_k = 1^n nC_n - 1^k - 1 = nleft( C_n - 1^0 + C_n - 1^1 + ... + C_n - 1^n - 1 ight) = n.2^n - 1\ Rightarrow VT = 3S_1 + S_2 = 3840\ Leftrightarrow 3.2^n + n.2^n - 1 = 3840\ Leftrightarrow 6.2^n + n.2^n = 7680\ Leftrightarrow 2^nleft( n + 6 ight) = 7680\ Leftrightarrow n = 9.endarray)

Cho (x = 1 Rightarrow (1 + x - x^2 + x^3)^9 = left( 1 + 1 - 1^2 + 1^3 ight)^9 = 2^9)