Cách Tính Tích Phân Kép

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

4. Một số trong những ví dụ:

1. Xác định cận mang tích phân theo 2 phương Ox và Oy của:

*

Giải:

Ta bao gồm miền D giới hạn bởi những đường:

*
Tọa độ giao điểm của 2 đướng
*
*
là A(2;-2) và C (8;4) với miền D được khẳng định như hình bên.

Bạn đang xem: Cách tính tích phân kép

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D gồm cùng 1 mặt đường vào là

*
và thuộc 1 đưởng ra là x = y + 4.

Xem thêm: Trường Đại Học Điện Lực Thành Phố Hồ Chí Minh, Trường Đại Học Điện Lực

Do đó:

*

Vậy

*

=

*

=

*

Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 con đường vào là y = x – 4 cùng

*
và có chung 1 con đường ra là
*
. Bởi đó, ta phân chia miền D thành 2 miền D1, D2 vì đoạn AB đặt trên mỗi miền bao gồm chung 1 đường vào và 1 mặt đường ra.

Xem thêm: Giải Toán Lớp 6 Bài 9 Thứ Tự Thực Hiện Các Phép Tính Toán 6 Tập 1 Trang 31 33

Do đó, theo phương Oy ta có:

*

*

Vậy ta có:

*

Tính toán giống như như trên, ta tất cả kết quả.

Nhận xét:

1. Từ tích phân bên trên miền D1, ta nhận ra cận của tích phân theo biến y tất cả tính đối xứng, hay dựa vào ồ thị ta có miền D là miền đối xứng qua Ox. Bởi đó, giả dụ hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bởi 0; còn nếu f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân đang bằng gấp đôi tích phân bên trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).

Từ đó, nếu miền D đối xứng qua Ox cùng f(x;y) = f(x;-y) thì:

*

(với D1 là phần của D ứng cùng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox với f(x;y) = -f(x;-y) thì:

*

2. Tương tự, ví như miền D đối xứng qua Oy với f(x;y) = f(-x;y) thì:

*

(với D’ là phần của D ứng cùng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox cùng f(x;y) = -f(-x;y) thì:

*

3. Ví như miền D là miền đối xứng qua Ox với Oy cùng f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

*

(với D* là phần của D phía bên trong góc phần tư thứ nhất)

(Các công dụng trên coi như bài tập, những em tự triệu chứng minh)

4. đưa sử

*
*
thì:

*

(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích phân đơn. Các em tự chứng minh)