Bài tập xét tính tăng giảm của dãy số

     
Phương pháp áp dụngTa rất có thể lựa lựa chọn một trong các cách sau:Cách 1: tiến hành theo những bước:Bước 1: Lập hiệu H = u$_n+1$ - u$_n$, tự đó xác minh dấu của H.Bước 2: lúc đó:* nếu H > 0 với ∀n ∈ N* thì dãy số (u$_n$) tăng.* nếu H cách 2: nếu u$_n$ > 0 với ∀n ∈ N* ta có thể thực hiện theo các bước:Bước 1: Lập tỉ số p. = $fracu_n + 1u_n$, trường đoản cú đó so sánh P với 1.

Bạn đang xem: Bài tập xét tính tăng giảm của dãy số

Bước 2: khi đó:* Nếu p > 1 cùng với ∀ n ∈ N* thì hàng số (u$_n$) tăng.* Nếu p. Ví dụ vận dụngThí dụ 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u$_n$) với u$_n$ = $fracn5^n$.
Ta hoàn toàn có thể trình bày theo hai cách sau:Cách 1:
Xét hiệu: H = u$_n+1$ - u$_n$ = $fracn + 15^n + 1$ - $fracn5^n$ = $fracn + 1 - 5n5^n + 1$ = $frac1 - 4n5^n + 1$ biện pháp 2: Dễ thấy u$_n$ > 0 với ∀n ∈ N*, xét tỉ số:P = $fracu_n + 1u_n$ = $fracn + 15^n + 1$:$fracn5^n$ = $frac15left( 1 + frac1n ight)$ thí dụ 2. Xét tính tăng, giảm của hàng số (u$_n$), biết: $left{ eginarraylu_1 = 1\u_n = 2u_n - 1 + 1,,,n ge 2endarray ight.$.

Xem thêm: Những Bài Hát Hay Về Mùa Đông, Top 20 Bài Hát Hay Nhất Dành Cho Mùa Đông


Ta hoàn toàn có thể trình bày theo hai giải pháp sau:Cách 1:
Xét hiệu: H = u$_n+1$ - u$_n$ = (2u$_n$ + 1) - u$_n$ = u$_n$ + 1.Ta đang đi chứng tỏ u$_n$ > 0, ∀n ∈ N* bởi quy nạp.Ta có: u$_1$ = 1 > 0, tức công thức đúng cùng với n = 1.Giả sử cách làm đúng cùng với n = k, tức là uk > 0, ta đi minh chứng uk + 1 > 0.Thật vậy: u$_k+1$ = 2u$_k$ + 1 > 0, đpcm.Vậy, ta luôn luôn có u$_n$ > 0, ∀n ∈ N*.Do kia H > 0, từ đó suy ra dãy (u$_n$) tăng.Cách 2: Trước tiên, ta đi minh chứng u$_n$ > 0, ∀n ∈ N* (tương từ bỏ như trong biện pháp 1)Xét tỉ số:P = $fracu_n + 1u_n$ = $frac2u_n + 1u_n$ = 2 + $frac1u_n$ > 1Vậy, dãy (u$_n$) tăng.* Chú ý: Đối cùng với bất đẳng thức chứa các toán tử mang tính đặc thù trong vô số nhiều trường hợp bọn họ sử dụng tính solo điệu của dãy số để bệnh minh, ví dụ với hàng số u$_n$ để minh chứng u$_k$ ≤ u$_0$ ta đi chứng minh dãy u$_n$ 1-1 điệu giảm.Thí dụ 3. mang lại dãy số (u$_n$) khẳng định bởi: u$_1$ = 3 với u$_n$ = 4u$_n-1$ - 1 với đa số n ≥ 2.Chứng minh rằng:a. U$_n$ = $frac2^2n + 1 + 13$. B. (u$_n$) là 1 trong những dãy số tăng.

Xem thêm: Cách Ăn Kiêng Giảm Mỡ Bụng Cho Nữ Giúp Sở Hữu Vòng Eo Quyến Rũ


a. Ta đi chứng minh công thức bên trên bằng phương thức quy nạp.* với n = 1, ta có: u$_1$ = $frac2^2 + 1 + 13$ = $frac93$ = 3 đúng.* giả sử phương pháp đúng với n = k, có nghĩa là uk = $frac2^2k + 1 + 13$.* Ta đi chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh: u$_k+1$ = $frac2^2k + 3 + 13$.Thật vậy: u$_k+1$ = 4u$_k$ - 1 = $frac4(2^2k + 1 + 1)3$ - 1 = $frac2^2k + 1 + 2 + 4 - 33$ = $frac2^2k + 3 + 13$.Vậy, ta được u$_n$ = $frac2^2n + 1 + 13$.b. Xét hiệu: u$_k+1$ - u$_k$ = $frac2^2k + 3 + 13$ - $frac2^2k + 1 + 13$ = $frac2^2k + 1(2^2 - 1)3$ = 22k + 1 > 0 => u$_k+1$ > u$_k$Vậy (u$_n$) là 1 dãy số tăng.