BÀI TẬP TỨ GIÁC NỘI TIẾP CÓ LỜI GIẢI

     

Hãy cùng NDTLS giải không còn 101 bài tập tứ giác nội tiếp. Kỹ năng hình học của bạn sẽ được củng cố không hề ít để trường đoản cú tin bước vào kì thi học sinh tốt cấp tỉnh cũng tương tự chuyên toán. Hãy xem thêm với dulichnangdanang.com nhé.

Bạn đang xem: Bài tập tứ giác nội tiếp có lời giải

Video bài bác tập về tứ giác nội tiếp

Bài tập minh chứng tứ giác nội tiếp PDF

Các việc về chứng minh tứ giác nội tiếp

Bài số 1:

Cho ABC vuông sinh hoạt A. Trên AC lấy điểm M cùng vẽ con đường tròn 2 lần bán kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn trên D. Đường trực tiếp DA cắt Đường tròn trên S. Minh chứng rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) hai góc ABD và ACD bằng nhau

c) CA là phân giác của góc SCB

Hướng dẫn giải:

*

a) thường thấy hai góc BAC cùng BDC cùng bởi 90 độ => ABCD nội tiếp.

b) Trong mặt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD , hai góc ABD với ACD là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD nên bởi nhau

c) Trong con đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD , hai góc acb và ADB là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB nên bởi nhau.

Lại có góc ADB = góc DSM + DMS = MCS

Phát triển bài xích toán: bài bác này rất có thể hỏi thêm như chứng tỏ SH // AB

Bài số 2:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Nhì đường chéo cánh AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc cùng với AD. Triệu chứng minh:

a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .

b) CA là phân giác của góc BCF

c) gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp

Hướng dẫn giải:

*

a) dễ dàng rồi nhé

b) Ta có hai góc C3 với D3 bởi nhau, hai góc ECF = D3 => đpcm

c) Ta lần lượt minh chứng góc C1 = D1 = A1 = F1 ; D3 = F3 ; F2 = ECM, C3 = F3

=> BFM + BCM = F2 + F3+ BFM = 180 độ

Phát triển bài xích toán: Ta thấy E là giao điểm 3 phân giác của tam giác BCF. Vì chưng vậy rất có thể hỏi thêm minh chứng E biện pháp đều 3 cạnh của tam giác BCF tuyệt E là vai trung phong đường tròn nội tiếp tam giác BCF

Bài số 3: 

Tứ giác ABCD nội tiếp con đường tròn đường kính AD . Nhì đường chéo AC , BD giảm nhau trên E . Hình chiếu vuông góc của E bên trên AD là F . Đường thẳng CF giảm đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng tỏ :

a) CEFD là tứ giác nội tiếp .

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .

c) BE . Dn = EN . BD

Hướng dẫn giải:

a) Dễ

b) chứng minh tương tự bài 2 ta có góc F2 = F3

Ta chứng tỏ tiếp F4 + F3 = F2 + F1. Vậy F4 = F1 = F5 => FA là tia phân giác của góc BFM .

c) FA là tia phân giác của góc BFM cần FD là phân giác của góc CFI

FE là phân giác của tam giác BFN nên BF/FN = BE/EN

FD là phân giác của góc kế bên của tam giác BFN nên BF/FN = BD/ND

Vậy BE/EN = BD/ND => BE . Doanh nghiệp = EN . BD

Bài số 4: 

Cho tam giác ABC vuông ở A với một điểm D nằm trong lòng A cùng B . Đường tròn 2 lần bán kính BD giảm BC trên E . Những đường trực tiếp CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại những điểm trang bị hai F , G . Chứng minh :

*
đến tam giác ABC vuông trên A cùng điểm D nằm trong lòng A và B. Đường tròn 2 lần bán kính BD giảm BC tại E. Những - Tự học 365"/>

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .

b) Tứ giác ADEC cùng AFBC nội tiếp được vào một mặt đường tròn .

c) AC tuy nhiên song cùng với FG .

d) các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy .

Bài số 5

a) dễ

b) centimet là phân giác của ∠BCS∠BCS Tứ giác CSDM nội tiếp ⇒ góc SCM= góc ADM Tứ giác CDAB nội tiếp ⇒góc BCM= góc ADM ⇒góc BCM=góc SCM ⇒CM là tia phân giác góc BCS

c) TA/TD=TC/TB Xét tam giác BCT AC và TN là 2 con đường cao cắt nhau trên M ⇒ BM vuông góc cùng với CT nhưng mà CD vuông góc cùng với MB ⇒C, D, T trực tiếp hàng dễ dàng cm được ΔTCA∼ΔTBD ⇒ đpcm

Bài số 7

*

Câu 1) Dễ

Câu 2) E nằm trê tuyến phố trung trực của AC nên chứng tỏ được: góc AEH = CEH = BEK

Chứng minh được hai tam giác đồng dạng: AEH và BEK => góc BKE vuông

=> AHEK nội tiếp

Câu 3) Kẻ đường kính AI => tam giác ABI vuông tại B, theo pytago ta có

Bài số cửu (Theo yêu mong của bạn Dark)

Cho tam giác ABC ko cân, con đường cao AH, nội tiếp trong mặt đường tròn chổ chính giữa O. Gọi E, F máy tự là hình chiếu của B, C lên 2 lần bán kính AD của mặt đường tròn (O) cùng M, N máy tự là trung điểm của BC, AB. Hội chứng minh:

a) tư điểm A, B, H, E thuộc nằm trê tuyến phố tròn chổ chính giữa N cùng HE// CD.

b) M là vai trung phong đường tròn nước ngoài tiếp tam giác HEF

*

a) tư điểm A, B, H, E cùng nằm trên tuyến đường tròn trọng điểm N (dễ nhé)

HE // CD (Vì Góc FCB = góc EBC cùng bởi góc HAO)

b) ABHE nội tiếp => góc EHC = góc BAE cơ mà góc BAE = góc BCD đề xuất góc EHC = góc BCD

=> HE // CD

Mà AC vuông góc cùng với CD buộc phải HE vuôn góc với AC, lại sở hữu MN //AC vậy MN vuông góc cùng với HE

Ta minh chứng được EN = tp hà nội (cùng bởi nửa AB). Tam giác HNE cân nặng tại N, NM là con đường cao nên cũng là đường trung trực => ME = MH (1)

Ta cũng chứng minh được HF // BD (vì AHFC nội tiếp => góc CHF =góc FAC = góc CBD)

Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh tương tự ta có IM //AB đề xuất vuôn góc cùng với BD và HF,

Tam giác HIF cân nặng tại I. Im là mặt đường trung trực của HF => MH = MF (2)

(1),(2) => đpcm

Bài số 11 (Theo yêu thương cầu của bạn Thảo Chi)

a) SAOB, SAEO nội tiếp => 5 điểm S, A, E, O, B thuộc thuộc một đường tròn

b) ví như SA = AO thì tam giác SAO, SBO vuông cân tại A cùng B => SAOB là hình vuông.

c) minh chứng hai tam giác SAC và SDA đồng dạng => AC/DA = SA/SD (1)

Chứng minh hai tam giác SBC với SDB đồng dạng => BD/BC = SD/SB (2)

Nhân vế với vế (1) cùng (2) ta tất cả (AC.BD)(DA.BC) = 1 => AC.BD = BC.DA (*)

Chứng minh nhị tam giác đồng dạng ACE với ABD (góc ACE = Góc ABD, góc AEC = góc ADB cùng bằng góc ABS) => AC/AB = CE/BD => AC.BD = AB.CE (3)

Chứng minh nhị tam giác acb và AED đồng dạng (g-g) => CB/ED = AB/AD

=>CB.AD = AB.ED (4)

Từ (3),(4) => AC.BD + CB.AD = AB(CE + ED) = AB.CD (**)

Từ (*) với (**) => AC.BD = BC.DA = AB.CD/2

Bài tập 12 (Bạn trangks2004 hỏi)

Cho nửa mặt đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy nhì điểm C và D trực thuộc nửa con đường tròn. Những tia AC và AD giảm Bx lần lượt nghỉ ngơi E, F (F ở giữa B với E).

a) minh chứng AC. AE ko đổi.

b) chứng tỏ góc ABD = góc DFB

c) chứng tỏ rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

a) Tam giác ABE vuông trên B, mặt đường cao BC => AC.AE = AB2 ko đổi.

b) góc ABD = góc DFB (1) bởi vì cùng phụ cùng với góc DBF

c) ACDB nội tiếp => góc ABD = góc DCE (2)

từ (1) với (2) => góc DFB = góc DCE => CEFD là tứ giác nội tiếp.

Bài tập 13 (Theo đề nghị của doanh nghiệp Quý)

Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo đồ vật tự đó. Trên nửa phương diện phẳng bờ d kẻ nhị tia Ax, By cùng vuông góc với d. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C giảm đường trực tiếp By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK trên P.

a) chứng tỏ tứ giác CBPK nội tiếp được con đường tròn .

b) minh chứng AI.BK = AC.CB

a) nhị góc KPC cùng KBC vuông => CBPK nội tiếp được đường tròn .

b) minh chứng hai tam giác IAC cùng CBK đồng dạng (g-g) => AC/BK = IA/BC => AC.BC = IA.BK

Bài số 14: (Theo yêu cầu của khách hàng Linh Le)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ con đường cao AH, vẽ con đường tròn đường kính AH, mặt đường tròn này cắt AB tại E, giảm AC trên F.

Xem thêm: Điểm Chuẩn Đại Học Thăng Log 2019, Điểm Chuẩn Đại Học Thăng Long Năm 2021

a) chứng minh AEHF là hình chữ nhật.

b) bệnh minh: BEFC là tứ giác nội tiếp .

c) chứng minh: AB.AE = AC.AF

d) call M là là giao điểm của CE với BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC.

a) b) dễ

c) minh chứng AB.AE = AH2 = AC.AF

d) Ta đang so sánh diện tích s 2 tam giác ABF cùng BEC

Gọi diện tích tam giác ABC là S. Ta có:

S(ABF)/S = AF/AC

S(BEC)/S = BE/AB

Hai tam giác BEH với BAC đồng dạng => BE/AB = EH/AC => BE.AC = AB.EH

=> BE.AC = AB.AF => AF/AC = BE/AB

Vậy S(ABF) = S(BEC) => S(AEMF) = S(BMC)

Bài số 18: (Theo yêu cầu của người tiêu dùng Kuju)

Cho đường tròn (O; R), xuất phát từ một điểm A bên trên (O) kẻ tiếp con đường d cùng với (O). Trên phố thẳng d đem điểm M bất kể ( M không giống A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vg MB, BD vg MA, call H là giao điểm của AC cùng BD, I là giao điểm của OM với AB.

a) minh chứng tứ giác AMBO nội tiếp.

b) chứng tỏ năm điểm O, K, A, M, B thuộc nằm trên một đường tròn .

c) minh chứng OM = R2; OI. Lặng = IA2.

d) chứng tỏ OAHB là hình thoi.

e) chứng minh ba điểm O, H, M trực tiếp hàng.

f) kiếm tìm quỹ tích của điểm H khi M dịch rời trên con đường thẳng d.

Hướng dẫn:

a) nhì góc OAM cùng OBM vuông => AMBO nội tiếp.

b) AMBO và OKMB nội tiếp=> năm điểm O, K, A, M, B thuộc nằm bên trên một con đường tròn

c) chứng tỏ M, H, I, O trực tiếp hàng cùng MI vuông góc cùng với AB (vì OM cùng MH thuộc vuông với AB) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, đường cao AI là ra.

d) AH//OB (cùng vuông với BM), AO//BH (cùng vuông với AM), OA = OB => OAHB là hình thoi.

e) Đã làm cho ở câu c

f) mang O’ đối xứng với O qua A. Ta chứng minh được góc OHO’ = 90 độ. OO’ rứa định

=> quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là con đường tròn (A; AO)

Bài tập 19 (Theo yêu thương cầu của chúng ta Hà Trang)

Cho 3 điểm A; B; C cố định và thắt chặt thẳng mặt hàng theo máy tự. Vẽ mặt đường tròn (O) ngẫu nhiên đi qua B và C (BC không là đường kính của (O)). Kẻ các tiếp đường AE với AF cùng với (O) (E; F là những tiếp điểm). điện thoại tư vấn I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:

a) AE2 = AB.AC

b) Tứ giác AEOF nội tiếp

c) Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một con đường tròn.

d) ED song song cùng với AC.

e) khi (O) đổi khác tâm mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng thay định.

Câu a,b,c cơ bản

d) Ta chứng minh được góc EDF = góc AEF = góc AIF => ED //AC

e) hotline J là giao điểm của EF cùng AC, ta có OKJI nội tiếp đề nghị đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OIK chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OKJI. Khi O biến đổi thì OK,OI, KJ chỉ bao gồm IJ không đổi bởi EF, AC không đổi => trọng điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OKJI luôn nằm trên đường trung trực cố định của IJ.

Chuyên đề tứ giác nội tiếp

Để minh chứng tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn ta phải vận dụng linh hoạt các dấu hiệu nhận thấy tứ giác nội tiếp, dưới đấy là các phương thức chứng minh cơ bản.

Phương pháp 1:

Sử dụng tính chất: giả dụ tổng số đo nhị góc đối lập của một tứ giác nội tiếp bởi 1800 thì tứ giác kia nội tiếp được vào một đường tròn.

Phương pháp 2:

Nếu tứ giác có một góc ko kể tại một đỉnh bởi góc trong của đỉnh đối lập thì tứ giác đó nội tiếp được vào một mặt đường tròn (Phương pháp này có thể coi như là hệ trái của phương thức 1)

Phương pháp 3:

Nếu tứ giác gồm hai đỉnh kề nhau cùng chú ý đoạn trực tiếp nối nhì đỉnh còn lại dưới một góc thì tứ giác kia nội tiếp được vào một mặt đường tròn.

Phương pháp 4:

Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều 1 điều cố định.

Xem thêm: Cách Làm Keo 502 Hết Đông Cứng Phải Làm Sao, Cách Làm Tan Keo 502 Bị Đông Cứng

Nhận xét:

Đối với việc trên ta hoàn toàn có thể hoàn toàn chứng minh theo các cách thức khác. Nhìn chung, trường hợp ta minh chứng được một tứ giác nội tiếp bằng phương pháp này thì cũng đều có thể chứng minh được bằng cách thức kia, điều đặc biệt quan trọng là cần hướng dẫn học viên tìm ra phương thức nào ngắn gọn, dễ nắm bắt nhất.

Qua các Bài tập chủng loại về chứng minh tứ giác nội tiếp làm việc trên ta thấy trong không hề ít trường thích hợp tứ giác cần minh chứng nội tiếp thuộc một trong những hai dạng sau đây: