BÀI 1

     
toán thời thượng không khí vector bài tập ma trận bài tập con đường tính ma trận phức Đại số đại cưng cửng


Bạn đang xem: Bài 1

*
pdf

Đề thi cuối học kỳ II năm học tập 2015-2016 môn Toán thời thượng (Đề số 1) - ĐH ngoại ngữ


*
pdf

bài xích giảng Toán cao cấp: Lecture 2 - Nguyễn Văn Thùy




Xem thêm: Chỉ Tiêu Đại Học Ngoại Thương 2016, Chỉ Tiêu Tuyển Sinh Đại Học Ngoại Thương Năm 2016

*
ppt

Calculus and its applications: 6.3




Xem thêm: Hà NộI CôNg Bố đIểM ChuẩN VàO LớP 10 Thpt CôNg LậP NăM 2018: Cao NhấT 51,5 đIểM

Nội dung

1. Không khí vectorProblem 1.1. Mang sử A là 1 ma trận vuông cung cấp n, cùng C(A) = bố = AB là tập hợptất cả các ma trận vuông phức cấp n trao đổi được với A. Minh chứng rằng: C(A) là khônggian vector bé của không khí vector Mn×n và dim C(A) ≥ n.Hint. Xét ánh xạ đường tính:T : Mn×n −→ Mn×nB 7→ AB − BA.Khi đó S = ker T là không gian vector bé của không gian các ma trận Mn×n . Để ý rằng, nếuC là ma trận khả nghịch thìAB = BA−1−1−1khi còn chỉ khi C ACC BC = C BCC −1 AC. Nếu D1 , . . . , dn là các ma trận độc lập tuyếntính thì C −1 D1 C, . . . , C −1 doanh nghiệp C cũng độc lập tuyến tính. Cho nên vì thế để đơn giản dễ dàng ta trả sử A có dạngJordan, với 1 khối Jordan sản phẩm công nghệ i cấp k là:a 1 ... 0 ... ... .Ai = 0a 100aKhi kia Ai trao đổi vớib1Bi = 00b2 . . . Bk.. .....b b 120b1Do kia A trao đổi vớiB1..B=..BrVì vào B tất cả n biến đề nghị dim C(A) ≥ n.♥Problem 1.2. đến S là không gian con của không gian Mn (C) sinh do tập tất cả các ma trậncó dạng AB − BA. Minh chứng rằng: dim S = n2 − 1.Hint. Ta phải chỉ ra S gồm n2 − 1 vector chủ quyền tuyến tính. Đó là các ma trận: Mij = Mik Mkj −Mkj Mik , i 6= j (có n2 − n phần tử)M11 − Mjj = Mij Mj1 − Mj1 Mij , j 6= 1 (có n − một phần tử), trong số đó ma trận Mij là ma trậncó phần tử 1 ở trong phần ij, những vị trí khác đều bởi 0. Do đó dim S ≥ n2 − 1, còn mặt khác S 6= Mn×nnên dim S 0 phải α là số chẳn. Vậydet(I + 2P ) > 0, giỏi (ai ) và (ai + 2bi ) cùng hướng cùng với nhau.♥Problem 1.6. Mang lại V là không gian vector n chiều cùng W là một không gian con m chiều củaV , (m dim U + dim V .Chứng minh rằng tồn tại các số λ1 , λ2 , . . . , λk không đồng thời bởi 0 sao chokXλi u i =i=1kXλi vi = 0.i=1Khẳng định trên còn đúng không nào nếu k ≤ dim U + dim V.Hint. để ý rằng ta có đối kháng cấu U × V −→ W yêu cầu số chiều của U × V không thực sự n.♥Problem 1.21. Mang lại f là nhiều thức thông số thực gồm bậc n > 0 và p0 , p1 , p2 , . . . , pn là các đa thứchệ số thực và gồm bậc dương. CMR, tồn tại những số thực a0 , a1 , a2 , . . . , an không đồng thời bằngnXkhông thế nào cho đa thức Q(x) =ai (pi (x))i phân chia hết mang đến f .i=0Problem 1.22. Cho V là một không gian vector bên trên trường vô hạn K cùng V1 , V2 , . . . , việt nam là cáckhông gian vector nhỏ của V. Giả sửn. Chứngminh rằng f1 , f2 , . . . , fn dựa vào tuyến tính khi và chỉ khiRdet ab fi (x)fj (x)dx = 0. 9Hint. Xét tích vô phía trên C xác minh bởiZ bf (x)g(x)dx.hf, gi =aTa có C là không gian Euclid vàdetRbafi (x)fj (x)dxchính là định thức Gram của hệ vector f1 , f2 , . . . , fn . Từ đó suy ra điều bắt buộc chứng minh. ♥Problem 2.12. Ký kết hiệu mét vuông (R) là không gian các ma trận vuông thực cấp cho 2. Cho1 22 1A=,B=.−1 30 4Xét phép chuyển đổi tuyến tính L : mét vuông (R) −→ m2 (R) xác định bởi L(X) = AXB. Hãy tính vếtvà định thức của L.Hint. Xét những ánh xạ đường tínhLA (X) = AXLB (X) = XB.Ma trận của LA với LB lần lược là:=1 0 01MA =  −1 00 −120302 001 42 M =0  B 0 00 03002100.04Suy ra det L = det LA . Det LB = 26 .52 , T r(L) = T r(MA .MB ) = 24Problem 2.13. Ký kết hiệu M3 (R) là không khí các1 0A= 0 20 0♥ma trận vuông thực cung cấp 3. Cho0011Xét phép thay đổi tuyến tính L : M3 (R) −→ M3 (R) xác minh bởi L(X) = (AX + XA). Hãy2tính định thức của L.Hint. Mang X = (xij ), ta có:x11 23 x123L(X) =  2 x21 2x22x31 32 x32x133x .2 23x33381Dễ thấy từng ma trận Mij rất nhiều là vector riêng biệt của L. Suy ra det L = 2.( )4 = .28♥Problem 2.14. Ký hiệu M3 (R) là không gian các ma trận vuông thực cấp 3. Mang sử A ∈M3 (R), det A = 32 và đa thức về tối tiểu của A là (λ − 4)(λ − 2). Xét ánh xạ tuyến đường tính: LA :M3 (R) −→ M3 (R) xác minh bởi LA (X) = AX. Hãy tính lốt của LA .Problem 2.15. Cam kết hiệu M7 (R) là không gian các ma trận vuông thực cung cấp 7. Mang sử A ∈ M7 (R)là một ma trận chéo cánh với đường chéo cánh chính tất cả 4 hạng tử +1 và 3 hạng tử -1. Xét ánh xạ tuyếntính LA : M7 (R) −→ M7 (R) khẳng định bởi LA (X) = AX − XA. Hãy tính rank LA .Problem 2.16. đến F là một trường, n với m là hai số nguyên, Mm×n là không gian các matrận cung cấp m × n trên trường F . Mang sử A với B là nhị ma trận cố định của Mm×n . Xét ánh xạtuyến tính L : Mm×n −→ Mm×n xác minh bởi L(X) = AXB. Minh chứng rằng giả dụ m 6= n thìL suy biến. 10Hint. Trường đúng theo m > n. Ta viết T = T1 ◦ T2 , trong số ấy T2 : Mn×m −→ Mn×n được xác địnhbởi: T2 (X) = XB và T1 : Mn×n −→ Mm×n được mang lại bởi: T1 (Y ) = AY . Bởi dim Mn×m = nm >n2 = dim Mn×n bắt buộc T2 không 1-1 ánh, suy ra T cũng không đối kháng ánh tốt T ko khả nghịch.Trường thích hợp m