Bài tập không gian vecto có lời giải

     
Bài viết này dulichnangdanang.com ra mắt đến các bạn đọc triết lý kèm ví dụ bài tập cụ thể về cơ sở của không gian véctơ:


*

1. Cửa hàng của không khí véctơ

Trong không khí $mathbbR^n$ mỗi hệ tất cả $n$ véctơ $left P_1,P_2,...,P_n ight$ hòa bình tuyến tính được gọi là 1 trong những cơ sở của không khí $mathbbR^n.$

Ví dụ 1: Hệ gồm hai véctơ $P_1=(1,2),P_2=(-2,1)$ là một trong những cơ sở của không khí $mathbbR^2$ vày $P_1,P_2$ hòa bình tuyến tính vì chưng không tỉ lệ.Bạn đã xem: bài bác tập không gian vecto tất cả lời giải

Ví dụ 2: Hệ gồm bố véctơ $P_1=(1,0,0),P_2=(0,1,0),P_3=(0,0,1)$ là 1 trong những cơ sở của không gian $mathbbR^3$ vày $P_1,P_2,P_3$ tự do tuyến tính.

Bạn đang xem: Bài tập không gian vecto có lời giải

Ví dụ 3: Hệ gồm n véctơ $E_1=(1,0,0,...,0),E_2=(0,1,0,...,0),...,E_n=(0,0,0,...,1)$ là 1 cơ sở của không khí $mathbbR^n.$

2. Toạ độ của một véctơ so với một cơ sở

Giả sử hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$ là 1 cơ sở của $mathbbR^n.$ khi đó mọi véctơ $Xin mathbbR^n$ hồ hết được màn trình diễn tuyến tính một biện pháp duy độc nhất vô nhị qua hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$, có nghĩa là luôn tồn tại tốt nhất $n$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _n$ làm sao để cho $X=alpha _1P_1+alpha _2P_2+...+alpha _nP_n.$ bộ số $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ được điện thoại tư vấn là toạ độ của véctơ $X$ trong đại lý $left P_1,P_2,...,P_n ight.$Ta đã hiểu được $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ là nghiệm của hệ con đường tính gồm ma trận hệ số mở rộng $overlineA=left( P_1P_2...P_nX ight)$ trong đó $P_1,P_2,...,P_n,X$ viết bên dưới dạng cột.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ tất cả 3 véctơ $v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,3)$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^3$ với tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ so với cơ sở đó.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=left v_1,v_2,v_3 ight$ là một trong cơ sở của $mathbbR^3$ cùng tìm toạ độ của véctơ $v$ trong cửa hàng đó:

a) $v_1=(2,1,1),v_2=(6,2,0),v_3=(7,0,7),v=(15,3,1).$

b) $v_1=(0,1,1),v_2=(2,3,0),v_3=(1,0,1),v=(2,3,0).$

c) $v_1=(1,2,-1),v_2=(2,3,0),v_3=(5,7,2),v=(2,-3,6).$

d) $v_1=(1,2,3),v_2=(1,3,-2),v_3=(2,3,-1),v=(2,-3,17).$

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ tất cả 4 véctơ $left P_1,P_2,P_3,P_4 ight$ dưới đây

$P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,-3)$

là một các đại lý của $mathbbR^4$ và tìm toạ độ của véctơ $X=(2,2,-3,0)$ trong các đại lý đó.

Ví dụ 4: Tìm $m$ để hệ bao gồm 3 véctơ $P_1=(2,1,1),P_2=(6,2,0),P_3=(7,0,m)$ là 1 trong những cơ sở của $mathbbR^3.$

Ví dụ 5: Tìm $m$ nhằm hệ tất cả 4 véctơ $P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,m)$ là một cơ sở của $mathbbR^4.$

Ví dụ 6: Cho cho tía véctơ $X_1=(3,-2,4,1),X_2=(-2,1,3,-2),X_3=(-3,-1,k,2).$ search một véctơ $X_4in mathbbR^4$ để hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là 1 trong những cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ làm véctơ dòng, tất cả $A = left( eginarray*20c 3& - 2&4&1\ - 2&1&3& - 2\ - 3& - 1&k&2\ a&b&c&d endarray ight).$

Ta phải tìm $(a,b,c,d)$ sao cho $det (A) e 0.$ khai triển theo chiếc 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + c( - 1)^4 + 3left| eginarray*20c 3& - 2&1\ - 2&1& - 2\ - 3& - 1&2 endarray ight| + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + 15c + dA_44. endarray$

Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=d=0,c e 0$ khi ấy $det (A)=15c e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,c,0),c e 0.$

Ví dụ 7: Cho bố véctơ $X_1=(2,k,4,-1),X_2=(-3,1,2,k),X_3=(6,-1,-4,-2).$ tìm kiếm một véctơ $X_4in mathbbR^4$ nhằm hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là 1 cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ có tác dụng véctơ dòng, gồm $A = left( eginarray*20c 2&k&4& - 1\ - 3&1&2&k\ 6& - 1& - 4& - 2\ a&b&c&d endarray ight).$ Ta đề xuất tìm $(a,b,c,d)$ làm sao để cho $det (A) e 0.$ triển khai theo dòng 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 + d( - 1)^4 + 4left| eginarray*20c 2&k&4\ - 3&1&2\ 6& - 1& - 4 endarray ight|\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 - 16d. endarray$

Vậy ta chỉ việc chọn $a=b=c=0,d e 0$ lúc đó $det (A)=-16d e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,0,d),d e 0.$

3. Các đại lý và số chiều của không gian con

Cho L là một không khí con của $mathbbR^3.$ Hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ nằm trong L được gọi là một trong những cơ sở của L nếu thoả mãn mặt khác hai điều kiện:

Hệ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ độc lập tuyến tính;Mọi véctơ $Xin L$ phần đa được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight.$

Số véctơ của đại lý của L được call là số chiều của L cùng được kí hiệu là dimL.

Ví dụ 1: Cho không khí con $L=leftx_2=2x_1 ight.$ chứng tỏ rằng hệ tất cả hai véc tơ $P_1=(1,2,0),P_2=(1,2,1)$ là 1 cơ sở của L.

Ví dụ 2: Cho không khí con $L=leftx_1+x_3=0 ight.$ tìm kiếm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 4: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,x_3)in mathbbR^3(a,b,cin mathbbR;a e 0).$ minh chứng rằng hệ có hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là 1 trong cơ sở của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3(a e 0).$

Vậy $X=left( -fracbax_2-fraccax_3,x_2,x_3 ight)=left( -fracbax_2,x_2,0 ight)+left( -fraccax_3,0,x_3 ight)=x_2left( -fracba,1,0 ight)+x_3left( -fracca,0,1 ight).$

Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ chủ quyền tuyến tính bởi vì không tỉ lệ bắt buộc hệ gồm hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là một trong những cơ sở của L.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Bỏ Lọc Trong Excel Bất Cứ Ai Cũng Cần & Nên Biết

Ví dụ 8: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,4x_1-5x_2)in mathbbR^3 ight.$ tra cứu một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 9: Cho không khí con $L=left2x_1+x_2-x_4=0 ight.$ search một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 10: Cho không khí con $L=left X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)in mathbbR^3 ight.$ tìm kiếm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 11: Cho không gian con $L=left2a+b=c-3d ight.$ kiếm tìm một đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 12: Cho không khí con $L=leftx_1-3x_3+x_4=0,4x_1-x_2+2x_3-x_4=0 ight.$ tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 13: Cho không khí con $L=left X=(4x_2+x_3+3,x_2,x_3,-3x_2+x_3)in mathbbR^4 ight.$ tìm kiếm một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 14: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4(a,b,c,din mathbbR;a e 0).$ chứng minh rằng hệ gồm ba véctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là 1 trong những cơ sở của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3-fracdax_4(a e 0).$Vậy

$eginarrayc X = left( - fracbax_2 - fraccax_3 - fracdax_4,x_2,x_3,x_4 ight) = left( - fracbax_2,x_2,0,0 ight) + left( - fraccax_3,0,x_3,0 ight) + left( - fracdax_4,0,0,x_4 ight)\ = x_2left( - fracba,1,0,0 ight) + x_3left( - fracca,0,1,0 ight) + x_4left( - fracda,0,0,1 ight). endarray$

Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ độc lập tuyến tính nên hệ tất cả bavéctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là một trong cơ sở của L.

Xem thêm: Cách Lưu Story Có Nhạc Trên Instagram Có Tiếng Về Điện Thoại Đơn Giản

Hiện trên dulichnangdanang.com kiến thiết 2 khoá học tập Toán cao cấp 1 với Toán cao cấp 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành kinh tế của toàn bộ các trường:

Sinh viên những trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH yêu đương Mại

- học viện Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH kinh tế ĐH giang sơn Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH không giống trên khắp cả nước...